【数学求导公式】在微积分中，求导是研究函数变化率的重要工具。掌握常见的数学求导公式，不仅有助于理解函数的性质，还能在实际问题中快速进行计算和分析。本文将总结一些常用的数学求导公式，并以表格形式进行清晰展示。
一、基本求导公式
以下是一些基本初等函数的导数公式：
| 函数表达式 | 导数 |
| $ f(x) = c $（常数） | $ f'(x) = 0 $ |
| $ f(x) = x^n $（n为实数） | $ f'(x) = nx^{n-1} $ |
| $ f(x) = e^x $ | $ f'(x) = e^x $ |
| $ f(x) = a^x $（a>0, a≠1） | $ f'(x) = a^x \ln a $ |
| $ f(x) = \ln x $ | $ f'(x) = \frac{1}{x} $ |
| $ f(x) = \log_a x $（a>0, a≠1） | $ f'(x) = \frac{1}{x \ln a} $ |
| $ f(x) = \sin x $ | $ f'(x) = \cos x $ |
| $ f(x) = \cos x $ | $ f'(x) = -\sin x $ |
| $ f(x) = \tan x $ | $ f'(x) = \sec^2 x $ |
| $ f(x) = \cot x $ | $ f'(x) = -\csc^2 x $ |
二、复合函数求导法则
对于复合函数，需要使用链式法则来求导：
链式法则：
若 $ y = f(u) $，且 $ u = g(x) $，则
$$
\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx}
$$
例如：
$ f(x) = \sin(3x) $ 的导数为：
$$
f'(x) = \cos(3x) \cdot 3 = 3\cos(3x)
$$
三、乘积与商的求导法则
乘积法则：
若 $ f(x) = u(x) \cdot v(x) $，则
$$
f'(x) = u'(x)v(x) + u(x)v'(x)
$$
商的法则：
若 $ f(x) = \frac{u(x)}{v(x)} $，则
$$
f'(x) = \frac{u'(x)v(x) - u(x)v'(x)}{[v(x)]^2}
$$
四、高阶导数
高阶导数是指对一个函数连续求导多次的结果。例如：
- 一阶导数：$ f'(x) $
- 二阶导数：$ f''(x) = [f'(x)]' $
- 三阶导数：$ f'''(x) = [f''(x)]' $
例如：
$ f(x) = x^3 $
- 一阶导数：$ f'(x) = 3x^2 $
- 二阶导数：$ f''(x) = 6x $
- 三阶导数：$ f'''(x) = 6 $
五、隐函数求导
对于无法显式表示的函数，可以使用隐函数求导法，即对两边同时对变量求导。
例如：
设 $ x^2 + y^2 = 1 $，对两边对 $ x $ 求导得：
$$
2x + 2y \cdot \frac{dy}{dx} = 0 \Rightarrow \frac{dy}{dx} = -\frac{x}{y}
$$
六、总结
掌握这些基本的求导公式和规则，是学习微积分的基础。通过熟练运用链式法则、乘积法则、商的法则以及隐函数求导方法，可以解决更多复杂的数学问题。建议多做练习题，加深对公式的理解和应用能力。
附：常用导数公式速查表
| 函数 | 导数 |
| $ c $ | 0 |
| $ x^n $ | $ nx^{n-1} $ |
| $ e^x $ | $ e^x $ |
| $ a^x $ | $ a^x \ln a $ |
| $ \ln x $ | $ \frac{1}{x} $ |
| $ \sin x $ | $ \cos x $ |
| $ \cos x $ | $ -\sin x $ |
| $ \tan x $ | $ \sec^2 x $ |
| $ \cot x $ | $ -\csc^2 x $ |
如需进一步了解导数的应用或复杂函数的求导方法，可继续深入学习微分学相关内容。