【arctanx的导数是怎么求出来的】在微积分中，反三角函数的导数是重要的知识点之一。其中，arctanx（即反正切函数）的导数是一个经典问题，其推导过程体现了反函数求导的基本思想。本文将通过总结的方式，详细说明arctanx导数的求法，并以表格形式展示关键步骤。
一、arctanx导数的求法总结
arctanx的导数可以通过反函数求导法则来推导。设 $ y = \arctan x $，则有 $ x = \tan y $。通过对两边对x求导，可以得到：
$$
\frac{dx}{dy} = \sec^2 y
$$
因此，
$$
\frac{dy}{dx} = \frac{1}{\frac{dx}{dy}} = \frac{1}{\sec^2 y}
$$
利用恒等式 $ \sec^2 y = 1 + \tan^2 y $，并代入 $ x = \tan y $，可得：
$$
\frac{dy}{dx} = \frac{1}{1 + x^2}
$$
所以，最终得出：
$$
\frac{d}{dx} (\arctan x) = \frac{1}{1 + x^2}
$$
二、关键步骤总结表
| 步骤 | 内容 | 说明 |
| 1 | 设 $ y = \arctan x $ | 定义反函数 |
| 2 | 则 $ x = \tan y $ | 反函数关系 |
| 3 | 对两边关于x求导 | 应用隐函数求导法 |
| 4 | 得到 $ \frac{dx}{dy} = \sec^2 y $ | 求导结果 |
| 5 | 所以 $ \frac{dy}{dx} = \frac{1}{\sec^2 y} $ | 反函数导数公式 |
| 6 | 利用恒等式 $ \sec^2 y = 1 + \tan^2 y $ | 三角恒等变换 |
| 7 | 代入 $ x = \tan y $，得 $ \frac{dy}{dx} = \frac{1}{1 + x^2} $ | 最终表达式 |
三、结论
通过上述推导可以看出，arctanx的导数是基于反函数求导法则和三角恒等式的应用。这一过程不仅展示了数学中的逻辑推理，也体现了函数与导数之间的紧密联系。掌握这种推导方法，有助于理解其他反三角函数的导数求法。
如需进一步了解其他反三角函数的导数，欢迎继续提问。