【期望和方差公式】在概率论与数理统计中，期望和方差是描述随机变量特征的两个重要指标。期望反映了随机变量的平均取值，而方差则衡量了随机变量与其期望之间的偏离程度。掌握这些公式的应用，有助于我们更好地理解和分析随机现象。
一、期望（Expectation）
期望是随机变量在所有可能取值上的加权平均值，权重为对应的概率。对于离散型和连续型随机变量，其计算方式有所不同。
1. 离散型随机变量的期望
设随机变量 $ X $ 的可能取值为 $ x_1, x_2, \ldots, x_n $，对应的概率分别为 $ P(X = x_i) = p_i $，则：
$$
E(X) = \sum_{i=1}^{n} x_i \cdot p_i
$$
2. 连续型随机变量的期望
设随机变量 $ X $ 的概率密度函数为 $ f(x) $，则：
$$
E(X) = \int_{-\infty}^{\infty} x \cdot f(x) \, dx
$$
二、方差（Variance）
方差表示随机变量与其期望之间的偏离程度，即数据的波动性。方差越大，说明数据越分散；反之则越集中。
1. 方差的定义
$$
\text{Var}(X) = E[(X - E(X))^2
$$
也可以通过展开公式简化为：
$$
\text{Var}(X) = E(X^2) - [E(X)]^2
$$
三、常见分布的期望和方差公式总结
| 分布类型 | 概率质量/密度函数 | 期望 $ E(X) $ | 方差 $ \text{Var}(X) $ |
| 0-1分布（伯努利） | $ P(X = 1) = p, P(X = 0) = 1-p $ | $ p $ | $ p(1-p) $ |
| 二项分布 $ B(n,p) $ | $ P(X=k) = C_n^k p^k (1-p)^{n-k} $ | $ np $ | $ np(1-p) $ |
| 泊松分布 $ P(\lambda) $ | $ P(X=k) = \frac{e^{-\lambda} \lambda^k}{k!} $ | $ \lambda $ | $ \lambda $ |
| 均匀分布 $ U(a,b) $ | $ f(x) = \frac{1}{b-a} $ | $ \frac{a+b}{2} $ | $ \frac{(b-a)^2}{12} $ |
| 正态分布 $ N(\mu,\sigma^2) $ | $ f(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma} e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}} $ | $ \mu $ | $ \sigma^2 $ |
| 指数分布 $ Exp(\lambda) $ | $ f(x) = \lambda e^{-\lambda x} $ (x ≥ 0) | $ \frac{1}{\lambda} $ | $ \frac{1}{\lambda^2} $ |
四、小结
期望和方差是概率统计中非常基础且重要的概念，它们帮助我们从整体上把握随机变量的行为特征。无论是理论研究还是实际应用，理解并熟练运用这些公式都具有重要意义。通过对不同分布的期望和方差进行归纳总结，可以更高效地应对各种概率问题。
希望本文能帮助你更好地掌握期望和方差的相关知识！